αλ-Χημεία: Αρχές της Κβαντομηχανικής και το Σωματιδίο

Τι κοινό έχουν ένα κινητό, ένας υπολογιστής, το internet, το φως και ένα ποτήρι νερό; Οι ιδιότητες όλων διέπονται από τις αρχές της κβαντομηχανικής! Η κβαντομηχανική αποτελεί μία γενίκευση των κλασικών νόμων της νευτώνιας φυσικής, καθώς οι τελευταίοι ,όπως αποδείχθηκε, δεν μπορούν να εφαρμοστούν με επιτυχία στα σωματίδεια του μικρόκοσμου. Στη κβαντομηχανική πρέπει να ξεχάσουμε ότι ξέρουμε για τον φυσικό κόσμο με βάση τις μέχρι τώρα εμπειρίες μας, καθώς δεν υπάρχουν σωματίδεια ή κύματα, αλλά όλα τα αντικείμενα έχουν κυματοσωματιδειακό χαρακτήρα, ενώ η μέτρηση μίας ιδιότητας τέτοιων αντικειμένων επηρρεάζει την κατάσταση του αντικειμένου!

Παραδείγματος χάρην αν αφήσουμε μία "κβαντική" μπάλα από ένα ύψος τότε αυτή δεν είναι βέβαιο πως θα πέσει κάτω, αλλά υπάρχουν πιθανότητες να βρθεί σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου. Στο παρόν άρθρο δεν θα αναλύσω ιδιαίτερα το φιλοσοφικό περιεχόμενο της κβαντομηχανικής, αυτό γίνεται ιδιαίτερα προσιτό τρόπο στο παρακάτω βίντεο :

Επειδή ακριβώς δεν έχει νόημα να μιλάμε για βεβαιώτητες , αλλά για πιθανότητες η πρώτη αρχή της κβαντικής είναι ότι όλες οι ιδιότητες του συστήματος περιγράφονται από μία (μιγαδική) συνάρτηση Ψ, την οποία ονομάζουμε ΚΥΜΑΤΟΣΥΝΑΡΤΗΣΗ, για παράδειγμα αν θέλουμε να βρούμε την ενέργεια ή την ορμή ενός ηλεκτρονίου δεν θα την μετρήσουμε με κάποιο όργανο, αλλά θα κάνουμε κάποιους μαθηματικούς υπολογισμούς πάνω στην Ψ,οι οποίοι θα μας δώσουν την αντίσοτιχη ιδιότητα. Συγκεκριμένα η "μέτρηση" μιας ιδιότητας (ορμή, θέση, ενέργεια κλπ) στην κβαντική είναι η έφαρμογή ενός τελεστή πάνω στην Ψ και το "αποτέλεσμα της μέτρησης" είναι η ιδιοτιμή του εφαρμοζόμενου τελεστή. Τι είναι όμως ένας τελεστής; Τελεστής είναι μία μαθηματική διαδικασία (πράξη) η οποία όταν εφαρμόζεται πάνω σε μία συνάρτηση μας δίνει μία νέα συνάρτηση, εδώ βλέπουμε ένα παράδειγμα ενός τελεστή Ω=3+ πάνω σε μία συνάρτηση f(x)=5x, που δίνει μία νέα συνάρτηση g(x)=5x +3 :

$\widehat{\Omega}f(x) = 3+f(x)=3+5x$

Υπάρχουν πολλών ειδών τελεστές, όμως αυτοί που χρησιμοποιούνται στη κβαντομηχανική έχουν την ιδιότητα, η νέα συνάρτηση που δίνουν να είναι ίδια με την προηγούμενη πολλαπλασιασμένη με μία σταθερά, δηλαδή να είναι της μορφής :

$\widehat{\Omega}f(x) = \omega f(x)$ (Ι)

Η σταθερά ω ονομάζεται ιδιοτιμή του τελεστή και εκφράζει την μετρήσιμη ιδιότητα που "μετράει" ο τελεστής, για παράδειγμα αν εφαρμόσουμε το τελεστή της ορμής πάνω στην Ψ θα πάρουμε την Ψ πολλαπλασιασμένη με την ορμή του συστήματος. Η μέτρηση όμως αλλάζει το σύστημα, άρα η Ψ εκράζει την κατάσταση του συστήματος μετά την μέτρηση. Επομένως στην εξίσωση (Ι) έχουμε ως αγνώστους την συνάρτηση Ψ και τις ιδιοτιμές ω. Μία τέτοια εξίσωση ονομάζεται εξίσωση ιδιοτιμών και η επίλυση τέτοιων εξισώσεων είναι το βασικό πρόβλημα της κβαντομηχανικής. Η πιο γνωστή εξίσωση ιδιοτιμών είναι η εξίσωση του Schrodinger, η οποία χρησιμοποιεί το τελεστή Hammilton (Η), που δίνει την ενέργεια του συστήματος:

$\widehat{H}\Psi = E\Psi$

Στο παρόν άρθρο θα επιλύσουμε την εξίσωση του Schrodinger για το σύστημα ενός σωματιδείου που βρίσκεται εγκλωβισμένο σε ένα κουτί μίας διάστασης, μήκους l. Για να πραμείνει το σωματίδειο εγκλωβισμένο μέσα στο κουτί θεωρούμε ότι μέσα έχει δυναμική ενέργεια 0, ενώ στα τοιχώματα και έξω από αυτό έχει άπειρη δυναμική ενέργεια. Ο τελεστής που μας δίνει την ενέργεια του συτήματος (Χαμιλτονιανός) σε μία διάσταση παίρνει τη μορφή:

$\widehat{H}=-\frac{h^2}{8\pi^2m}\frac{\mathrm{d^2} }{\mathrm{d} x^2} +V(x)$

,ενώ καθώς το σωματίδιο μέσα στο κουτί δεν έχει δυναμική ενέργεια, V=0. Ξεκινώντας πρέπει να λύσουμε την εξίσωση του Schrodinger για το συγκεκριμένο σύστημα:

$\widehat{H}\Psi = E\Psi$

$-\frac{h^2}{8\pi^2 m}\frac{\mathrm{d^2}\Psi }{\mathrm{d} x^2}=E \Psi$

$\frac{\mathrm{d^2} \Psi }{\mathrm{d} x^2}=-\frac{8E\pi^2 m}{h^2} \Psi$

Για λόγους ευκολίας στου υπολογισμούς θέτουμε:

$k^2:=\frac{8E\pi^2 m}{h^2}$

Άρα έχουμε:

$\frac{\mathrm{d^2} \Psi }{\mathrm{d} x^2}=-k^2\Psi$

$\frac{\mathrm{d^2} \Psi }{\mathrm{d} x^2}+k^2\Psi=0$

Για να προχωρήσουμε στην επίλυση της εξίσωσης θεωρούμε ότι η Ψ είναι της μορφής:

$\Psi = e^{\lambda x}$

Αν τώρα αντικαταστήσουμε την Ψ στην εξίσωση έχουμε:

$\frac{\mathrm{d^2}(e^{\lambda x}) }{\mathrm{d} x^2} + k^2(e^{\lambda x})=0$

$\lambda^2 e^{\lambda x}+k^2 e^{\lambda x}=0$

$\lambda^2 +k^2=0$

$\lambda=\pm ik$

Η γενική λύση της διαφορικής εξίσωσης είναι ο γραμμικός συνδυασμός (υπέρθεση) των δύο συναρτήσεων που λύνουν την εξίσωση (μία για λ =ik και μία για λ=-ik):

$\Psi=c_{1}e^{ikx}+c_{2}e^{-ikx}$

όπου c1,c2 είναι τυχαίες σταθερές. Η συνάρτηση προς το παρόν είναι μιγαδική, για να γίνει πραγματική θα τη μετασχιματίσουμε με τον τύπο του Euler:

$e^{it}=cost+i(sint)$

Εφαρμόζοντας τον τύπο έχουμε:

$\Psi=c_{1}(cos(kx)+i(sinkx))+c_{2}(cos(-kx)+i[sin(-kx)])$

$\Psi=c_{1}(cos(kx)+i(sinkx))+c_{2}(-cos(kx)+i[sin(kx)])$

$\Psi=(c_{1}-c_{2})coskx+i(c_{1}+c_{2})sinkx$

Θέτοντας όλες τις σταθερές ως Α και Β στο συνημίτονο και ημίτονο αντίστοιχα έχουμε την πραγματική γενική λύση της εξίσωσης:

$\Psi=Acoskx+Bsinkx$

Δεν έχουμε τελειώσει όμως ακόμα. Δεν ξέρουμε τις σταθερές Α,Β και k ενώ δεν έχουμε βρει ακόμη τις ενέργειες του σωματιδίου. Για να προχωρήσουμε πρέπει να εξετάσουμε τους περιορισμούς του συστήματος. Η πιο διαδεδομένη ερμηνεία της κυματοσυνάρτσης (αυτή της Κοπεγχάγης) μας λέει ότι η συνάρτηση |Ψ|^2 (ψ τετράγωνο) είναι ανάλογη της πιθανότητας να βρεθεί το σωματίδιο σε συγκεκριμένο σημείο του χώρου. Εφόσον το σωματίδιο δεν μπορεί να βγει από το κουτί πρέπει να ισχύει:

$\Psi(0)=\Psi(l)=0$

Λύνοντας τις δύο αυτές εξισώσεις βρίσκουμε ότι:

$A=0$ και $k=\frac{n\pi}{l}$

όπου n είναι ένας θετικός ακέραιος αριθμός (1,2,3....). Αν αντικαταστήσουμε το k βάσει των αρχικών μας σταθερών, μπορούμε να βρούμε τις ιδιοτιμές ενέργειας:

$k=\frac{n\pi}{l}$

$k^2=\frac{n^2\pi^2}{l^2}$

$\frac{8m\pi^2E}{h^2}=\frac{n^2\pi^2}{l^2}$

και έτσι οι ιδιοτιμές ενέργειας του συστήματος είναι:

$\mathbf{E=\frac{n^2h^2}{8ml^2}}$

Η τελευταία σχέση μας δίχνει μία βασική αρχή της κβαντομηχανικής: Η Ενέργεια μπορεί να πάρει μόνο συγκεκριμένες τιμές, οι οποίες είναι ανάλογες ενός ελάχισου ποσού (εδώ το h^2/8ml^2). Το ελάχιστο ποσό που μπορεί να έχει η ενέργεια ονομάζεται κβάντο και η ενέργεια λέμε ότι είναι ΚΒΑΝΤΙΣΜΕΝΗ. Σκεφτείτε την συνεχή ενέργεια που συναντάμε στη Νευτώνεια μηχανική σαν μια βρύση που ανοίγει και τρέχει συνεχόμενα, αν βάλουμε από κάτω ένα ποτηρί μπορούμε να πάρουμε οποιοδήποτε ποσότητα νερού θέλουμε. Αντιθέτως η ενέργεια στη κβαντομηχανική είναι σαν μια βρύση που τρέχει σταγόνα-σταγόνα, αν βάλουμε από κάτω ένα ποτήρι μπορούμε να πάρουμε μόνο ακέραια πολλαπλάσια της μίας σταγόνας ( πχ μπορούμε να πάρουμε 1000 ή 999 σταγόνες, όχι όμως 999,9 σταγόνες).

Για να μπορέσουμε να βρούμε την μοναδική άγνωστη σταθερά που έχει μείνει (την Β), θα εκμεταλλευτούμε μια ιδιότητα της κυματοσυνάρτησης, να είναι κανονικοποιημένη. Το σωματίδιο πρέπει να είναι κάπου σε όλο το χώρο, άρα αν προσθέσουμε όλες τις πιθανότητες (τα |Ψ|^2) να βρεθεί το σωματίδιο σε κάθε σημείο του χώρου τότε το αποτέλεσμα πρέπει να είναι 1 ή 100%. Αυτό μαθηματικά εκφράζεται ως:

$\int_{-\infty }^{\infty}|\Psi|^2dx=1$

Στο συγκεκριμένο πρόβλημα το σωματίδιο πρέπει να είναι μέσα στο κουτί, άρα αρκεί να ολοκληρώσουμε από 0 εώς l. Λύνοντας το ολοκλήρωμα βρίσκουμε:

$\int_{0}^{l}|\Psi|^2dx=\int_{0}^{l}B^2sin^2(kx)dx=1$

$\frac{B^2}{2}(\int_{0}^{l}dx+\int_{0}^{l}cos(\frac{2\pi nx}{l})dx)=1$

$\frac{B^2}{2}l=1$

$B=\sqrt{\frac{2}{l}}$

Έτσι η τελική κυματοσυνάρτση του συστήματός μας είναι:

$\Psi_{n}=\sqrt{\frac{2}{l}}sin(\frac{n\pi x}{l})$

Όπως φαίνεται και από τον τύπο της συνάρτησης, η κυματοσυνάρτηση (άρα και η κατάσταση του αντικειμένου) αλλάζει μορφή αναλόγως της ενέργειας του συστήματος. Παρακάτω φαίνονται τα γραφήματα των κυματοσυναρτήσεων για την θεμελιώδη (n=1) και τις τρεις πρώτες διεγερμένες καταστάσεις (n=2,3 και 4):

Παρατηρούμε ότι σε κάποια σημεία οι κυματοσυναρτήσεις μηδενίζονται, σε αυτά τα σημεία δεν μπορει ποτέ να βρεθεί το σωματίδιο (ασχέτως που μπορεί να βρεθεί στο αμέσως αριστερά και δεξιά σημείο ?!) και αυτά ονομάζονται κόμβοι. Τέλος φαίνεται ότι όσο περισσότερους κόμβους έχουμε τόσο μεγαλύτερη είναι η ενέργεια του σωματιδείου.

Η επίλυση αυτού του συστήματος θεωρείται από τις πιο απλές εφαρμογές της κβαντομηχανικής, την επιστήμη που μας δίχνει το δρόμο προς το μέλλον!

Το παρόν άρθρο αποτελεί τη γραπτή μορφή των δύο παρακάτω βίντεο.

αλ-Χημεία

Παρασκευή 1 Ιουνίου 2018

Αρχές της Κβαντομηχανικής και το Σωματιδίο

Δεν υπάρχουν σχόλια:

Δημοσίευση σχολίου